دیجیلاگیست محلی برای کسانی که به دنیای دیجیتال و آنالوگ علاقه دارند
تحلیل یک سیستم خطی به مراتب راحتتر از تحلیل یک سیستم غیرخطی است. همین موضوع باعث میشود در کنترل، مخابرات و پردازش سیگنال از اهمیت بالایی برخوردار باشند.
برای خطی بودن یک سیستم لازم است دو شرط زیر برای آن برقرار باشد:
- همگن بودن یا Homogeniety (Scalability):
Y(ax) = aY(x)
- جمع پذیری یا Additivity:
Y(x1) + Y(x2) = Y(x1+x2)
هر خط راستی، خطی نیست:
به نمودار زیر که یک خط راست -linear- است نگاه کنید:
از ریاضی میدانیم که اگر شیب این خط a باشد، رابطهی ریاضی خط رسم شده معادلهی زیر است:
Y = aX
اگر دو شرط بالا را در آن تست کنیم، میبینیم که این خط راست نمودار یک سیستم خطی است. حالا اگر به اندازهی y0 آن را به بالا ببریم، به معادلهی کلیتر زیر میرسیم:
Y = aX + y0
که البته این بار دیگر دو شرط خطی بودن در آن صدق نمیکند. در واقع میتوان اینطور گفت که هر خط راستی -linear line- خطی -linear- نیست و لازم است که عرض از مبدا نمودار خروجی-ورودی صفر باشد تا سیستم خطی به حساب بیاید.
به ترکیب دوشرط خطی بودن قاعدهی جمع آثار یا برهم نهی –Superposition- هم میگویند که با رابطهی زیر نشان داده میشود:
aY(x1) + bY(x2) = Y(ax1+bx2)
یکی از موضوعاتی که در درس مدارهای الکتریکی به آن پرداخته میشود کاربرد این قضیه در مدارات خطی الکتریکی است. قضیهای که به ما میگفت در مدارات خطی میتوانیم برای به دست آوردن ولتاژ یا جریان هر نقطه از مدار ورودیها را تک تک لحاظ کنیم و در نهایت اثر همهی آنها را با هم جمع کنیم.
یک مدار خطی الکتریکی تنها شامل عناصری خطی مثل مقاومت، سلف و خازن است. عناصری که رابطهی ولتاژ-جریان آنها از دو شرط بالا تبعیت میکند. حالا سوالی که ممکن است پیش بیاید این است که اگر منبع ولتاژ یا جریان مستقل که المانهایی غیرخطی هستند (چرا؟) به مدار اضافه شوند، مدار غیرخطی میشود؟
پاسخ خیر است. چراکه میتوان این المانها را به جای عضوی از مدار، به عنوان ورودیهای مداردر نظر گرفت. در نتیجه مدار همچنان خطی باقی میماند. اما فرض کنید که یک المان نامشخص و غیرخطی داریم که رابطهی جریان-ولتاژش V = 5I + 3 است. اگر این المان را به عنوان عضوی از مدار در نظر بگیریم مدار غیرخطی میشود و مثلا قاعدهی جمع آثار برای این مدار دیگر صدق نمیکند.
توجه داشته باشید که این موضوع به این معنی نیست که KVL وKCL را دیگر نمیشود در این مدار استفاده کرد. چراکه شرط لازم برای این دو قضیه فشرده بودن مدار است نه خطی بودن آن.
در اینجا میتوانید مثالی ساده از یک مدار ببینید که شامل چنین عضوی است. کافی است که برای به دست آوردن ولتاژ گره x یک بار با زدن KCL در این گره مقدار درست آن را به دست آورید و بار دیگر با استفاده از جمع آثار مقدار ولتاژ این نقطه از مدار را در اثر تک تک منابع حساب کنید و با هم جمع کنید. خواهید دید که به نتایج مختلفی میرسید.
